Самомоделируемые системы


Один из самых необычных элементов в исследовании неупорядоченных систем описан математиком Бенуа Мандельбротом, который, кстати, работал в группе исследований и развития компании IBM, где изучал все, что его интересовало. Мандельброт занимался изучением моделей и структур, в создании которых обычно участвовали хаотические и неупорядоченные естественные процессы. Это, конечно, то, чем занимаются большинство ученых, но что фундаментально отличало Мандельброта от других, так это его подход к перспективе и расстоянию.

"Что является размерами любого объекта?" "Это, — говорит Мандельброт, — зависит от того, насколько далеко вы находитесь". С дальнего расстояния объект может уместиться всего в одной-единственной точке. С расстояния 1 метра объект занимает легко распознаваемое пространство. Но если мы будем придвигаться к нему все ближе и ближе, задача измерения этой области становится все более сложным делом. Шершавость, неровность и раздробленность, существующие на поверхности объекта, будут все более явными.

Эта стало очевидным Мандельброту, когда у него возникла идея проверить длину границ, используя для этого разные карты. Он задал очень простой вопрос: "Какова длина побережья Англии?" Стандартный ответ из энциклопедии не устроил Мандельброта. Наоборот, он доказал, что побережье Британии или любое другое побережье бесконечно длинное. Фактор, определивший результат, — это с какого расстояния смотреть: в пределах самого узкого места любого залива всегда можно найти бухту, которая будет еще меньше. Таким образом, заливы внутри залива беспрестанно увеличивают общую длину побережья, которая в результате стремится к бесконечности.

Раздумывая над этими рекурсивными моделями, заливами внутри заливов, Мандельброт назвал этот феномен "фрактальностью". Что интересно в отношении фракталов, так это то, что они показывают, что система может постоянно повторять свои модели в различных масштабах или шкалах. Другими словами, является самомоделируемой.

Побережье Британии, конечно, следует рассматривать, как неподвижный феномен. Но фракталы можно обнаружить и в динамических системах. Подходящим примером служит струнный инструмент, такой как гитара. Мы ударяем по струне, и она издает звук определенного тона. Но, когда мы двигаем палец вверх по грифу гитары, тональность увеличивается, и на двенадцатом ладу тоны начинают повторять самих себя, но уже в более высокой октаве. Мы сталкиваемся с явлением, в котором гармоническая система, по существу, повторяет саму себя на разных шкалах. Другими словами, такая система самомоделируемая.

Или рассмотрим движения океана. На поверхности воды мы видим зыбь, нечто среднее между зыбью и волнами и, наконец, сами волны, каждая седьмая из которых часто больше остальных. Если трение ветра о воду приводит к таким явлениям, как зыбь, волны и "суперволны", можно говорить об этом феномене, как обладающем признаками фрактальности. Но это определение оправдывается только в том случае, если причиной подобного явления феномена был только ветер.

Уникальность метода Мандельброта в том, что он не стремился изучать только это явление в пределах только вполне определенных границ (например, химиков не допускают к профессиональным исследованиям в области ядерной физики, хотя предмет изучения может быть описан химическими формулами), а пытался понять всю структуру в целом, рассматривая ее с точки зрения проявления эффекта бифуркации (процесса разветвления), который она производила.

Точно таким же образом мы можем считать зыбь "крохотными волнами", хотя ее можно рассматривать и как всего лишь точки в целой рекурсивной структуре, возникшей в результате ветра. А как насчет волн, возникающих в результате приливоотливных явлений? Они также возникают благодаря фрактальному феномену? Хотя они возникают на поверхности Земли, но в действительности мы знаем, что причина их происхождения кроется в гравитационном воздействии Луны.